判定、构造和证明

引子

最近学习近世代数基础时,短短的一章,一共出现了32个定义、10个性质和30个定理。每一个性质和定理都要经过证明,并非一个顺畅的过程,特别是证明庞加莱定理的那个引理的证明,理解起来颇费精力。学习过程中最为愉快的是认识了同构。同构的定义将置换群与抽象群联系在了一起,从而构造同构的方法与构造对称群的子群的方法被联系在了一起,形成一个完美的闭环。

课程中的性质和定理无非是一些判定,涉及到群、子群、陪集、正规子群、同态、同构的判定。课程中的定义和证明涉及到构造,包括正规子群、自同构的构造。任何一条都够抽象,很容易让人陷入到去找具体例子当中去,从而忘记了为什么要讨论当下的这条内容,这点与设计软件时,总是钻入下层甚至更底层有些类似。避免这样的状况发生的办法核心是一条,回到因果链的原始状态,找到那个大的因,并且从这个因上,感受到意义和价值。如果感受不到意义和价值,那放弃了,大概也没什么可惜的。例如,群论的产生的大的因是一元高次方程是否可根式求解的问题。我已经记不清为什么一年前会突然开始对这个问题非常感兴趣,但我很清楚,我迄今仍就对这个问题充满兴趣,虽然根式解的答案我已经很清楚,但了解其论证过程依旧能让我感到意义,并且激发我进一步的兴趣。

主动做一件事情上让人觉得有意义,一定是过程中诱发了别样的生命体验,不一定舒适,但也不会太痛苦。学习近世代数诱发我体验到的是看清生命和思维的局限性,能够看清人生道路的边界,不至于走出去,偏离了终极目标。具体到思维上,经过此番学习,至少我对判定、构造和证明有了更加清晰的认识。


判定、断定、断言是对所感知事物的描述和叙说,其结果称作是一个陈述或者一个命题。这个思维过程是基于感知和记忆来展开的,过程的结果以记忆的形式对内留存,或以语音和文字的形式对外留存。所形成的记忆并不局限于大脑,还包括身体各个部位的神经和肌肉,以致产生思维过程的本体,从而形成经验。当我们断言产生思维过程的本体与肉体同一的时候,会有超出经验的观察,被人们称作超验或者先验;可当我们断言本体跨越多个肉体的时候,只需要留存经验的概念来解释一切的观察。不论是超验还是经验都是基于本体可感知、可观察和可断言而谈的。可感知的事物在思维过程中被对象化、抽象化、符号化,从而脱离了感知,只留存为了记忆。

构造、搭建、创造、创作是将经验运用在新的感知对象上,从而产生新的概念和感知对象的过程。在运用经验时,运用者必须意图明确并且能力充分,否则作用会产生偏差。明确意图与做判定的过程类似,要基于感知抽取记忆对象和符号,对将要进行的过程,全面清晰地描述。虽然使用描述这个字眼,但并不意味着一定要用嘴说或者用手写,而是通过念头来完成。明确意图意味着要将念头聚焦到与一个对象相关的一系列记忆上,也就是要专注。能够专注才能意图明确。能力是践行经验的要素。能力充分与否只有运用者才能够全面的认识到,因为从运用者的肉身到肉身以外的一切可感知的事物所具有的局限性就是运用者的能力。具备认知局限性的能力本身也是一种能力。可见能力必然是有边界的,否则所谓的创造也就没有了意义。人们追逐能力的提升,与追求出世间的自由是天然矛盾的,因为出世间的自由是没有边界的。回到世间的追求上,追求创造力的提升,也就是在追求局限性的缩小,也就要提升感知力、专注力和行动力。

论述、论证、证明是命题(陈述)之间的推演,不产生新的概念和可感知对象。理想中推导和演绎的过程不需要感知力和行动力,这大概也是人们追求人工智能的一个基础假设,感知力和行动力对应到如今的计算机模型上,就是外部设备的功能。这样的假设显然与常人的经验是相悖的,具备与运用推导和演绎的能力往往需要强大的感知力和行动力(对于计算机,人们只好不停地加缓存,头疼于对信息不一致的问题)。现实中的论证过程,不可能是在所有的命题都具足的前提下进行的,这就要求论证者做判断的过程快速准确,若相信本体跨越多个肉体,那么论证者必然是一个经验丰富的跨越者。命题不具足的时候,往往还需要构造新的对象与符号,这又要求创造力。当然没有人会否认论证过程需要高度的专注,甚至从专注上升到了信念。

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