滚动硬币的启示

《不要大惊小怪》是本有趣的小册子,引言中的例子就引人深思。题目虽然很容易,但抽取出背后的想问题的动机和方法却需要过去有一定量的实践和反思。

原文的题目问:

有两枚一模一样的硬币,它们半径相等,并排靠在一起,其中一枚固定不动。开始时一枚硬币上的箭头向上,将它沿着另一枚硬币的边缘无滑动地滚动,一直滚到这枚固定硬币的另一侧。那么现在滚动过来的硬币上那个箭头是向上还是向下?

直觉上想起来转了半圈,那应该是向下吧,不过如果动手做下实验,立刻发现太过自信了,箭头还是向上。

如果要明白为什么,自然需要做些分析,而分析的第一步是选好研究对象。

如果选择了滚动硬币的圆心,观察其轨迹的变化,立刻能够得出圆心在半圈内整整转过了一周,自然箭头还是向上。如果选择了滚动硬币上其它的点,就不那么容易得出这个结论了,因为其它的点的轨迹是条心脏线。为此我写了动画模拟了整个过程。

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解决明白这个问题本身没有什么值得兴奋的,因为这是一个普通的中学生,甚至聪明的小学生就可以想明白的。真正值得兴奋的是我们能够比过去更加清晰地意识到选择好的研究对象的动机以及方法。

研究对象选得不好会让解决方案变得复杂和偏离目标,我们的动机自然是让解决方案尽可能简单。

我们选择好的研究对象的方法是什么呢?我想是对人的认知活动过程的深刻理解。既然要选择,那么说明被研究的物体不是单一的物体。圆是再简单不过的几何体,却也不是单一的概念构成的。数学上能抽象出圆心和半径的概念对其进行描述,圆心决定了圆的位置,半径决定了圆的大小。这两个概念的组合是描述一个圆最小的概念集合。数学和物理总给人简洁、优雅的感觉,就在于对于一个抽象的概念,它们经常可以找到一个最小的几个简单或者已知概念的最小集合对其进行描述。比如,研究概率分布这样难以捉摸的现象,数学家告诉我们只要去关注它的数字特征就能确定分布是什么样子。再比如,研究物体的受力分析,物理学家告诉我们只要去关注它的质心的受力情况,剩下的质点就很容易分析了。这样的例子不胜枚举。

约翰·洛克给了我们理解人在建立复合观念时更加普遍的启示:

人心在把自己的能力施用于简单的观念时,其作用约可分为三种:第一,它可以把几个简单观念合成一个复合观念,因而造成一切复杂观念。第二,它可以把两个观念(不论是简单的或复杂的)并列起来,同时观察,可是并不把它们结合为一;这样,它就得到它的一切关系观念。第三,它可以把连带的其他观念排斥于主要观念的真正存在以外;这便叫做抽象作用,这样就造成一切概括的观念,这就分明表示出,人类的能力同其作用方式,在物质世界方面同理性世界方面,都是一样的。

虽然数学和物理中经典的例子不停地向我们展示这样的技巧,只是当遇到新问题时,我们的思维和注意力容易被复杂的细节和对象带偏,从而抓不住本质的对象。如果我们在遇到新问题难以找到方向时,不妨想一下约翰·洛克给我们的启示,我们一定不会太过迷茫。

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